Rešite naslednjo enačbo v naravnem številu: x² + y² = 1997 (x-y)?

Odgovor:

# (x, y) = (170, 145) # ali # (x, y) = (1817, 145) #

Pojasnilo:

Naslednji dokaz temelji na knjigi "Uvod v diofantske enačbe: problemski pristop" Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Glede na:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Let #a = (x + y) # in #b = (1997-x + y) #

Nato:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Zato najdemo:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Od #1997# je prvovrsten, # a # in # b # nimajo skupnega faktorja večjega od. t #1#.

Zato obstajajo pozitivna cela števila #m, n # z #m> n # in nobenega skupnega faktorja, ki ni večji od. t #1# tako, da:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} barva (bela) (XX) "ali" barva (bela) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Gledati # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # v mod #3# in mod #5# aritmetično, najdemo:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) #m - = + -1 # in #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) #m - = + -1 # in #n - = + -1 # (mod #5#)

To pomeni, da so edine možnosti za #m, n # modulo #15# so #1, 4, 11, 14#.

Poleg tega upoštevajte, da:

# m ^ 2 v (1997/2, 1997) #

Zato:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31,6, 44,7) #

Torej so edine možnosti za # m # so #34, 41, 44#

Najdemo:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# ni popoln kvadrat.

#1997 - 44^2 = 61# ni popoln kvadrat.

Torej # (m, n) = (34, 29) #

Torej:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

ali

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#color (bela) () #

Če # (a, b) = (1972, 315) # potem:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

in zato:

# (x, y) = (1817, 145) #

#color (bela) () #

Če # (a, b) = (315, 1972) # potem:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

in zato:

# (x, y) = (170, 145) #