Vprašanje # f8e6c

Odgovor:

Izrazite ga kot geometrijsko serijo, da bi našli vsoto #12500/3#.

Pojasnilo:

Izrazimo to kot vsoto:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Od #1.12=112/100=28/25#, to je enako:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Uporaba dejstva, da # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, imamo:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Prav tako lahko potegnemo #500# iz znaka za seštevanje, kot je ta:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

V redu, kaj je to? No, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # je tisto, kar je znano kot a geometrijska serija. Geometrična serija vključuje eksponent, ki je točno to, kar imamo tukaj. Čudovita stvar o geometrijskih serijah, kot je ta, je, da povzamejo do # r / (1-r) #, kje # r # je skupno razmerje; to je številka, ki je dvignjena na eksponent. V tem primeru, # r # je #25/28#, Ker #25/28# je tisto, kar je dvignjeno na eksponent. (Stranska opomba: # r # mora biti med #-1# in #1#ali pa serija ne pomeni ničesar.)

Zato je vsota te serije:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

To smo pravkar odkrili #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, tako da je edina stvar, ki jo je treba pomnožiti #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Tukaj lahko izveste več o geometrijskih serijah (priporočam, da si ogledate celotno serijo Khan Akademije na geometrični seriji).