Naj bo S kvadrat enote površine. Razmislite o vsakem štirikotniku, ki ima eno točko na vsaki strani S. Če a, b, c in d označujejo dolžine stranic štirikotnika, dokažite, da 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Let # ABCD # kvadrat enote površine.

Torej # AB = BC = CD = DA = 1 # enoto.

Let # PQRS # biti štirikotnik, ki ima po eno točko na vsaki strani kvadrata. Tukaj naj # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Z uporabo Pythagoras thorem lahko pišemo

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Zdaj s problemom, ki ga imamo

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Zato

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #