Kako bi integrirali int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Odgovor:

Ta integral ne obstaja.

Pojasnilo:

Od #ln x> 0 # v intervalu # 1, e #, imamo

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

tukaj, tako da postane integral

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Namestnik #ln x = u #, potem # dx / x = du # tako da

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

To je neustrezen integral, ker se integrand divergira na spodnji meji. To je opredeljeno kot

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

če obstaja. Zdaj

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

ker se to v mejah razlikuje #l -> 0 ^ + #, integral ne obstaja.

Odgovor:

# pi / 2 #

Pojasnilo:

Integral # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Najprej nadomestite # u = ln (x) # in # "d" u = ("d" x) / x #.

Tako imamo

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Zdaj pa nadomestite # u = sin (v) # in # "d" u = cos (v) "d" v #.

Potem, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) d "v = int_ (x = 1) ^ (x = e)) "d" v # od # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Nadaljevali smo

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #