Odgovor:
Največja možna površina trikotnika B = 60
Najmanjša možna površina trikotnika B = 45.9375
Pojasnilo:
Da bi dobili največjo površino
Strani sta v razmerju 14: 7
Zato bodo območja v razmerju
Največja površina trikotnika
Podobno, da dobite najmanjšo površino, stran 8 od
Strani sta v razmerju
Najmanjša površina
Odgovor:
Največje območje:
Minimalna površina:
Pojasnilo:
Če
potem
(Glej spodaj za navedbo, kako so bile izpeljane te vrednosti).
Zato
in največja stranska dolžina. t
Za ustrezne strani:
ali enakovredno
Opazimo, da je večja dolžina ustreznega
Tako dano
in
in največja vrednost za ustrezno stran je
minimalno območje za
Podobno opazimo, da je dolga dolžina ustreznega
Tako dano
in
in najmanjša vrednost za ustrezno stran je
največje območje za
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Določanje možnih dolžin za
Recimo, da postavimo
Uporaba te strani kot osnova in glede na to, da je območje
vidimo, da mora biti vrh nasproti te strani na višini
Če je stran z dolžino
(Upoštevajte, da je drugi konec vrstice dolžine
Zamenjava, imamo
Dajanje možnih koordinat:
Potem lahko uporabimo Pitagorejsko teoremo, da izračunamo razdaljo od vsake točke
z navedbo možnih vrednosti, prikazanih zgoraj (Oprostite, podrobnosti manjkajo, vendar se Sokrat že pritožuje glede dolžine).
Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 7. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?
Možna je tretja stran okrog 11,7 v trikotniku A. Če bi se to spremenilo na sedem, bi dobili minimalno površino 735 / (97 + 12 sqrt (11)). Če se dolžina strani 4 prilagodi na 7, dobimo največjo površino 735/16. To je morda težji problem, kot se zdi prvič. Ali kdo ve, kako najti tretjo stran, ki jo potrebujemo za ta problem? Običajni trigonomski prehodi običajno narekujejo izračunavanje kotov, s čimer dosežemo približek, kjer ni potreben noben. V šoli se pravzaprav ne poučuje, vendar je najlažji način Arhimedova teorema, sodobna oblika Heronove teoreme. Pokličimo A-jevo območje A in ga povežemo z A-stranmi a, b in c. 16A ^ 2
Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžine 4 in 9. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 12. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?
135 in ~ 15,8. Preprosta stvar v tem problemu je, da ne vemo, katera od drevesnih strani prvotnega trikotnika ustreza dolžini 12 v podobnem trikotniku. Vemo, da se lahko površina trikotnika izračuna iz Heronove formule A = sqrt {s (sa) (sb) (sx)} Za naš trikotnik imamo a = 4 in b = 9 in s = {13 + c} / 2, sa = {5 + c} / 2, sb = {c-5} / 2 in sc = {13-c} / 2. Tako 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 To vodi do kvadratne enačbe v c ^ 2: c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0, ki vodi do c ~ ~ 11,7 ali c ~ ~ 7,5 Tako je največja in najmanjša možna vrednost za strani našega prvotnega trikotnika 11,7 oziroma 4.
Trikotnik A ima območje 15 in dve strani dolžin 8 in 7. Trikotnik B je podoben trikotniku A in ima stran dolžine 16. Kakšna so največja in najmanjša možna območja trikotnika B?
Največja površina Delta B = 78,3673 Najmanjša površina Delta B = 48 Delta s A in B sta podobni. Da bi dobili maksimalno območje Delta B, mora stran 16 Delta B ustrezati strani 7 Delta A. Strani so v razmerju 16: 7, zato bodo površine v razmerju 16 ^ 2: 7 ^ 2 = 256: 49 Največje območje trikotnika B = (15 * 256) / 49 = 78,3673 Podobno kot za najmanjšo površino bo stran 8 Delta A ustrezala strani 16 Delta B. Strani sta v razmerju 16: 8 in področjih 256: 64 Najmanjša površina Delta B = (12 * 256) / 64 = 48