Odgovor:
Konvergira v # 1 + i # (na mojem grafičnem kalkulatorju Ti-83)
Pojasnilo:
Let # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Prvič, če predpostavimo, da ta neskončna serija konvergira (tj. Ob predpostavki, da S obstaja in ima vrednost kompleksnega števila), # S ^ 2 = -2 + 2 kvadrat {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 kvadrat {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
In če rešite za S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
in z uporabo kvadratne formule dobite:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1
Običajno ima funkcija kvadratnega korena pozitivno vrednost # S = 1 + i #
Torej, če se konvergira potem se mora približati # 1 + i #
Zdaj vse kar morate storiti je, da dokažete, da se konvergira ali če ste leni kot jaz, potem lahko priključite # sqrt {-2} # v kalkulator, ki lahko obravnava namišljene številke in uporabi relacijo ponovitve:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
To sem večkrat ponovil na mojem Ti - 83 in ugotovil, da se je približal npr.
# 1.000694478 + 1.001394137i #
precej dober približek
