Kako najdete int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx z uporabo delnih frakcij?

Kako najdete int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx z uporabo delnih frakcij?
Anonim

Odgovor:

ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C

Pojasnilo:

Let 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) je = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x))

Razširimo desno stran, dobimo

(A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x)

Izenačimo, dobimo

(A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x))

tj A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3

ali A - 2Ax + B + Bx = 3

ali (A + B) + x * (- 2A + B) = 3

izenačimo koeficient x z 0 in izenačimo konstante

A + B = 3 in

-2A + B = 0

Reševanje za A & B, dobimo

A = 1 in B = 2

Zamenjava v integraciji, dobimo

int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx

= int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx

= ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2)

= ln (1 + x) - ln (1 - 2x)

= ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C