Kaj zabavno, koristno, matematično dejstvo veste, da se običajno ne poučuje v šoli?

Odgovor:

Kako oceniti "stolpe eksponentov", kot je #2^(2^(2^2))#, in kako izdelati zadnjo številko # 2 ^ n, # # ninNN #.

Pojasnilo:

Da bi ovrednotili te "stolpe", začnemo na vrhu in se spustimo.

Torej:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Na podobno, a nekoliko nepovezano opombo, vem tudi, kako narediti zadnje številke #2# naravni eksponent. Zadnja številka #2# dvignjeno na nekaj vedno cikli med štirimi vrednostmi: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Torej, če želite najti zadnjo številko # 2 ^ n #, poiščite mesto v ciklu in poznajte njegovo zadnjo številko.

Odgovor:

Če #n> 0 # in # a # je približek #sqrt (n) #, potem:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

kje #b = n-a ^ 2 #

Pojasnilo:

Recimo, da želimo najti kvadratni koren neke številke #n> 0 #.

Nadalje bi želeli, da je rezultat nekakšna stalna frakcija, ki se ponovi na vsakem koraku.

Poskusite:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#barva (bela) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#barva (bela) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Odštej # a # iz obeh koncev:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Pomnožite obe strani z #sqrt (n) + a # dobiti:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Torej če # a ^ 2 # je malo manj kot # n #, potem # b # bo majhen in bo stalna frakcija hitrejša.

Na primer, če imamo # n = 28 # in izberite # a = 5 #, potem dobimo:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Torej:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))

ki nam daje približke:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Kalkulator mi pove #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Torej se to ne dogaja posebej hitro.

Druga možnost pa bi bila, da izrazimo # n = 28 # in # a = 127/24 # najti:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Torej:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…)))

dajemo približke:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

To je veliko hitreje.

Odgovor:

Približke kvadratnih korenin lahko najdete z rekurzivno določeno sekvenco.

Pojasnilo:

#color (bela) () #

Metoda

Glede na pozitivno celo število # n # ki ni popoln kvadrat:

• Let #p = nadstropje (sqrt (n)) # največje pozitivno celo število, katerega kvadrat ne presega # n #.

• Let #q = n-p ^ 2 #

• Določite zaporedje celih števil po:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "za" i> = 1):} #

Potem bo razmerje med zaporednimi pogoji zaporedja težilo k temu # p + sqrt (n) #

#color (bela) () #

Primer

Let # n = 7 #.

Potem pa #p = nadstropje (sqrt (7)) = 2 #, od #2^2=4 < 7# ampak #3^2 = 9 > 7#.

Potem pa # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Tako se začne naše zaporedje:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

V teoriji naj bi razmerje med zaporednimi izrazi težilo k temu # 2 + sqrt (7) #

Pa poglejmo:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Upoštevajte, da # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#color (bela) () #

Kako deluje

Recimo, da imamo zaporedje, ki ga definirajo dane vrednosti # a_1, a_2 # in pravilo:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

za nekatere konstante # p # in # q #.

Upoštevajte enačbo:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Korenine te enačbe so:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Potem vsako zaporedje s splošnim izrazom # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # bo zadovoljil pravilo ponavljanja, ki smo ga navedli.

Naslednja rešitev:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

za # A # in # B #.

Najdemo:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

in zato:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Torej s temi vrednostmi # x_1, x_2, A, B # imamo:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Če #q <3p ^ 2 # potem #abs (x_2) <1 # in razmerje med zaporednimi izrazi bo težilo k temu # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Odgovor:

Modularna delitev

Pojasnilo:

Modularna delitev je enaka delitvi, razen da je odgovor ostanek namesto dejanske vrednosti. Namesto #-:# simbol uporabite #%# simbol.

Na primer, običajno, če bi morali rešiti #16-:5# dobil bi #3# preostanek #1# ali #3.2#. Vendar z uporabo modularne delitve, #16%5=1#.

Odgovor:

Vrednotenje kvadratov s seštevki

Pojasnilo:

Običajno bi morali poznati kvadratke, kot je #5^2=25#. Vendar, ko se številke povečajo, kot npr #25^2#, težje je spoznati vrh glave.

Spoznal sem, da so kvadrati čez nekaj časa samo vsote lihih števil.

To mislim:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # kje # k # je osnovna vrednost minus #1#

Torej #5^2# lahko se napiše kot:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

To vam bo dalo:

#1+3+5+7+9#

To je dejansko #25#.

Ker se številke vedno povečujejo za #2#, Potem sem lahko dodal prvo in zadnjo številko in nato pomnožil z # k / 2 #.

Torej za #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Tako lahko naredim #(49+1)(25/2)# in dobite #25^2# kateri je #625#.

To ni res praktično, vendar je zanimivo vedeti.

#color (bela) () #

Bonus

Vedo, da:

# n ^ 2 = preobremenitev (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n izrazov" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

nam omogoča, da rešimo nekatere probleme o razlikah kvadratov.

Na primer, kaj so vse rešitve v pozitivnih celih številih #m, n # od # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

To se zmanjša tako, da ugotovimo, katere vsote zaporednih lihih celih števil seštevajo #40#…

# 40 = preobremenjenost (19 + 21) ^ "povprečno 20" #

#barva (bela) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#barva (bela) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#barva (bela) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = preobremenjenost (7 + 9 + 11 + 13) ^ "povprečno 10" #

#barva (bela) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#barva (bela) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#barva (bela) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #