Kako rešim ta vprašanja?

Odgovor:

Za enačbo #cos (theta) -sin (theta) = 1 #, rešitev je # theta = 2kpi # in # -pi / 2 + 2kpi # za cela števila # k #

Pojasnilo:

Druga enačba je #cos (theta) -sin (theta) = 1 #.

Razmislite o enačbi #sin (pi / 4) cos (theta) -cos (pi / 4) sin (theta) = sqrt (2) / 2 #. Opazite, da je to enakovredno prejšnji enačbi kot #sin (pi / 4) = cos (pi / 4) = sqrt (2) / 2 #.

Potem, z uporabo dejstva, da #sin (alphapmbeta) = sin (alfa) cos (beta) pmcos (alfa) sin (beta) #, imamo enačbo:

#sin (pi / 4-theta) = sqrt (2) / 2 #.

Sedaj se spomnite tega #sin (x) = sqrt (2) / 2 # kdaj # x = pi / 4 + 2kpi # in # x = (3pi) / 4 + 2kpi # za cela števila # k #.

Tako

# pi / 4-theta = pi / 4 + 2kpi #

ali

# pi / 4-theta = (3pi) / 4 + 2kpi #

Končno imamo # theta = 2kpi # in # -pi / 2 + 2kpi # za cela števila # k #.

Odgovor:

Za enačbo #tan (theta) -3cot (theta) = 0 #, rešitev je # theta = pi / 3 + kpi # ali # theta = (2pi) / 3 + kpi # za cela števila # k #.

Pojasnilo:

Razmislite o prvi enačbi #tan (theta) -3cot (theta) = 0 #. To vemo #tan (theta) = 1 / cot (theta) = sin (theta) / cos (theta) #.

Tako #sin (theta) / cos (theta) - (3cos (theta)) / sin (theta) = 0 #.

Potem, # (sin ^ 2 (theta) -3cos ^ 2 (theta)) / (sin (theta) cos (theta)) = 0 #.

Zdaj, če #sin (theta) cos (theta) 0 #lahko obe strani varno pomnožimo #sin (theta) cos (theta) #. To pušča enačbo:

# sin ^ 2 (theta) - barva (rdeča) (cos ^ 2 (theta)) = 0 #

Zdaj uporabite identiteto # cos ^ 2 (theta) = barva (rdeča) (1-sin ^ 2 (theta)) # v rdeči del zgornje enačbe. Zamenjava tega v nam daje:

# sin ^ 2 (theta) -3 (barva (rdeča) (1-sin ^ 2 (theta))) = 0 #

# 4sin ^ 2 (theta) -3 = 0 #

# sin ^ 2 (theta) = 3/4 #

#sin (theta) = pmsqrt (3) / 2 #

Rešitev je tako # theta = pi / 3 + kpi # ali # theta = (2pi) / 3 + kpi # za cela števila # k #.

(Spomnimo se, da smo to zahtevali #sin (theta) cos (theta) 0 #. Nobena od zgoraj navedenih rešitev nam ne bi dala #sin (theta) cos (theta) = 0 #, tako da smo tukaj dobro.)