Telo je bilo najdeno ob 10:00 v skladišču, kjer je bila temperatura 40 ° F. Zdravnik je ugotovil, da je temperatura telesa 80 ° F. Kakšen je bil približno čas smrti?

Odgovor:

Približen čas smrti je #8:02:24# am.

Pomembno je opozoriti, da je to temperatura kože. Zdravnik bi meril notranjo temperaturo, ki bi se upočasnila.

Pojasnilo:

Newtonov zakon hlajenja navaja, da je hitrost spremembe temperature sorazmerna z razliko temperature okolja. Tj

# (dT) / (dt) opornik T - T_0 #

Če #T> T_0 # potem se mora telo ohladiti, tako da mora biti derivat negativen, zato vstavimo sorazmernostno konstanto in pridemo do

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Če pomnožimo oklepaj in premaknemo stvari o:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Sedaj lahko uporabi integracijski faktorski način reševanja ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Pomnožite obe strani z #I (x) # dobiti

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Opazimo lahko, da lahko z uporabo pravila o izdelku ponovno napišemo LHS, pri čemer zapustimo:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrirajte obe strani v # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Delite z # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Povprečna telesna temperatura je # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58,6 #

Let # t_f # čas, v katerem se telo najde.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58,6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 h #

Torej, od časa smrti, pod pogojem, da se je telo takoj začelo hladiti, je trajalo 1,96 ure, da bi dosegli 80 ° F, na kateri točki je bilo ugotovljeno.

# 1.96hr = 117.6min #

Približen čas smrti je #8:02:24# am