Kakšen je nagib črte, ki je normalna do tangentne linije f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) pri x = (15pi) / 8?

Odgovor:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktivni graf

Pojasnilo:

Prva stvar, ki jo bomo morali narediti, je izračunati #f '(x) # na #x = (15pi) / 8 #.

Naredimo ta izraz po izrazu. Za # sec ^ 2 (x) # upoštevajte, da imamo v sebi vgrajene dve funkciji: # x ^ 2 #, in #sec (x) #. Zato bomo morali uporabiti verigo:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sek (x) * d / dx (sek (x)) #

#barva (modra) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Za 2. mandat bomo morali uporabiti pravilo izdelka. Torej:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = barva (rdeča) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + barva (rdeča) (d / dxcos (x-pi / 4))) (x) #

#barva (modra) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Morda se sprašujete, zakaj nismo uporabili verižnega pravila za ta del, ker imamo # (x - pi / 4) # znotraj kosinusa. Odgovor smo implicitno storili, vendar smo ga prezrli. Opazite, kako je izpeljan # (x - pi / 4) # je preprosto 1? Zato se to pomnoževanje ne spremeni ničesar, zato ga ne bomo zapisali v izračunih.

Zdaj smo skupaj združili:

# d / dx (sek ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = barva (vijolična) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Pazi na svoje znake.

Sedaj moramo poiskati naklon tangentne linije #f (x) # na #x = (15pi) / 8 #. To naredimo tako, da to vrednost samo vključimo #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = barva (vijolična) (~~ -6.79) #

Vendar pa tisto, kar hočemo, ni črta, ki se dotika f (x), ampak črta normalno nanj. Da bi dobili to, vzamemo samo negativno recipročno vrednost nagiba zgoraj.

#m_ (norma) = -1 / -15,78 barva (vijolična) (~~ 0,015) #

Zdaj smo vse vstavili v obliko nagiba točke:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Oglejte si ta interaktivni graf, da vidite, kako to izgleda!

Upam, da je to pomagalo:)