(X (P (x) (Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) (Q (x)) xP (x) xQ (x ). Prosim, pomagajte mi s prvo izjavo?

Da bi razumeli te izjave, moramo najprej razumeti zapis, ki ga uporabljamo.

• # AA # - za vse - Ta simbol pomeni, da nekaj velja za vsak primer v nizu. Torej, ko dodamo spremenljivko # x #, # AAx # pomeni, da se neka izjava nanaša na vsako možno vrednost ali postavko, ki jo lahko nadomestimo # x #.

• #P (x), Q (x) # - predlog - To so logični predlogi glede # x #, kar pomeni, da predstavljajo izjave o # x # ki so bodisi resnične ali lažne za katero koli posebno # x #.

• # # - in - Ta simbol omogoča kombinacijo več predlogov. Skupni rezultat je resničen, ko oba predloga vrneta resnico, in sicer false.

• # # - ali - Ta simbol omogoča tudi kombinacijo več predlogov. Skupni rezultat je napačen, če oba predloga vrneta false, in sicer sicer.

• # # - če in samo če - Ta simbol omogoča tudi kombinacijo več predlogov. Skupni rezultat je resničen, ko oba predloga vrneta isto vrednost resnice za vse # x #in v nasprotnem primeru false.

S tem lahko sedaj prevedemo izjave. Prva izjava, neposredno formulirana, bi zvenela kot "Za vse x, P za x in Q za x, če in samo če za vse x, P za x in za vse x, Q za x."

Nekaj manjših dodatkov in sprememb je nekoliko bolj razumljivo.

"Za vse x, P in Q sta resnični za x, če in samo če je P resnično za vse x in Q velja za vse x."

Ta trditev je tavtologija, to je res, ne glede na to, kaj nadomestimo za P ali Q. To lahko pokažemo tako, da dokažemo, da predlog pred implicira tisto, ki sledi, in obratno.

Izhajajoč iz predhodne izjave imamo to za vsako # x #, #P (x) (Q (x) # je res. Po naši definiciji zgoraj, to pomeni, da za vsakega # x #, #P (x) # je res in #Q (x) # je res. To pomeni, da za vse # x #, #P (x) # je res in za vse # x #, #Q (x) # je res, kar je izjava, ki se pojavi po.

Če začnemo z izjavo, ki se pojavi po, potem to vemo za katero koli # x #, #P (x) # je res in za vse # x #, #Q (x) # je res. Potem za vse # x #, #P (x) # in #Q (x) # oba sta resnična, pomenita za vse # x #, #P (x) (Q (x) # je res. To dokazuje, da je prva izjava vedno resnična.

Druga izjava je napačna. Ne da bi šli skozi celoten proces, kot je opisano zgoraj, lahko preprosto pokažemo, da dva predloga na obeh straneh nimata vedno enake resnične vrednosti. Recimo, da je na primer za polovico vseh možnih # x #, #P (x) # je res in #Q (x) # je napačna in za drugo polovico, #Q (x) # je res in #P (x) # je napačna.

V tem primeru, kot za vse # x #bodisi #P (x) # ali #Q (x) # je res, predlog #AAx (P (x) Q (x)) # je resnična (glej opise zgoraj). Ampak, ker obstajajo vrednote za # x # za katere #P (x) # je napačen, predlog #AAxP (x) # je napačna. Podobno, #AAxQ (x) # je tudi lažno, kar pomeni #AAxP (x) AAAxQ (x) # je napačna.

Ker imata obe trditvi različne resnične vrednote, očitno resnica enega ne zagotavlja resnice drugega, zato se s pridružitvijo rezultatom ponudi napačna nova trditev.