Imamo: {1,2,3} -> {1,2} in g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Koliko injekcijskih f in g funkcij obstaja?

Odgovor:

# f # ne more biti injekcijski.

# g # lahko vbrizgamo #24# načinov.

Pojasnilo:

Funkcija je injicirana, če dva vhoda ne zagotavljata enakega izhoda. Z drugimi besedami, nekaj podobnega

#f (x) = f (y), quad x t

se ne more zgoditi.

To pomeni, da je v primeru končne domene in kodomene funkcija lahko injekcijska, če in samo če je domena manjša od kodomene (ali, največ, enaka) v smislu kardinalnosti.

To je razlog, zakaj # f # nikoli ne more biti injekcijski. Pravzaprav lahko popravite #f (1) # kot želiš. Reci #f (1) = 1 #, na primer. Pri izbiri #f (2) #, tega ne moremo več reči #f (2) = 1 #, ali # f # ne bi bilo injekcijsko. Toda ko gre za #f (3) # nimamo izbire, če rečemo #f (3) = 1 # imamo #f (1) = f (3) #, in če rečemo #f (3) = 2 # imamo #f (2) = f (3) #.

Povedano drugače, za vsakega od treh vhodov moramo določiti enega od dveh možnih izhodov. Očitno je, da vhodi ne morejo zagotavljati različnih izhodov.

Po drugi strani # g # lahko je injekcijski, saj je "dovolj prostora": vsak od treh vhodov lahko izbere enega od štirih izhodov tako, da noben drug vhod ne zagotavlja enakega izhoda.

Toda na koliko načinov? No, recimo, da začnemo znova #f (1) #. Izberemo lahko katerega koli od štirih izhodov za ta vnos, da lahko izbiramo #f (1) # na štiri načine.

Ko gre za #f (2) #, izgubimo nekaj svobode: lahko dodamo katero koli vrednost #f (2) #, razen tistega, ki smo mu ga dodelili #f (1) #, tako da imamo dve možnosti. Na primer, če popravimo #f (1) = 2 #, potem #f (2) # bodisi lahko #1#, #3# ali #4#.

Po isti logiki imamo dve možnosti #f (3) #: od štirih možnih odločitev izključujemo tiste, ki so že dodeljene #f (1) # in #f (3) #.

Torej lahko definiramo # g # v #4*3*2 = 24# tako, da # g # je injekcijski.