Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Nisem našel sedlo, vendar je bilo minimalno:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Če želite poiskati ekstreme, vzemite delni derivat glede na # x # in # y # da vidimo, ali lahko oba delna derivata hkrati enaka #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Če morajo hkrati biti enaki #0#, tvorijo a sistem enačb:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

To linearno sistem enačb, ko se odšteje, da se prekliče # y #, daje:

# 3x - 1 = 0 => barva (zelena) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => barva (zelena) (y = -2/3) #

Ker so bile enačbe linearne, je obstajala le ena kritična točka, torej samo en ekstrem. Druga izvedenka nam bo povedala, ali je bila najvišja ali najmanjša.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) x x = 2 #

Ti drugi parciali so v soglasju, zato je graf vbočen navzgor # x # in # y # osi.

Vrednost #f (x, y) # na kritični točki (z vključitvijo nazaj v prvotno enačbo):

#barva (zelena) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = barva (zelena) (- 1/3) #

Tako imamo minimalno od #barva (modra) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Zdaj, za navzkrižnih derivatov preveriti morebitne sedeže, ki bi lahko bile vzdolž diagonalne smeri:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Ker sta tudi oba v dogovoru, namesto nasprotnih znakov, obstaja brez sedla.

Vidimo lahko, kako ta grafikon samo preverja: