Odgovor:
Točka # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) približno (1.26694,1.16437) # je lokalna najmanjša točka.
Pojasnilo:
Delni derivati prvega reda so # (delno f) / (delno x) = y-3x ^ {- 4} # in # (delno f) / (delno y) = x-2y ^ {- 3} #. Nastavitev obeh je enaka nič rezultatov v sistemu # y = 3 / x ^ (4) # in # x = 2 / y ^ {3} #. Prvo enačbo vstavimo v drugo # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Od #x! = 0 # v domeni. t # f #, to povzroči # x ^ {11} = 27/2 # in # x = (27/2) ^ {1/11} # tako da # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Delni derivati drugega reda so # (delno ^ {2} f) / (delno x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (delno ^ {2} f) / (delno y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, in # (delno ^ {2} f) / (delno x delno y) = (delno ^ {2} f) / (delno y delno x) = 1 #.
Diskriminant je torej # D = (delno ^ {2} f) / (delno x ^ {2}) * (delno ^ {2} f) / (delno y ^ {2}) - ((delno ^ {2} f) / (delno x delno y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. To je na kritični točki pozitivno.
Ker so tudi čisti (ne mešani) delni derivati drugega reda pozitivni, sledi, da je kritična točka lokalni minimum.
