Kako rešim to enačbo?

Odgovor:

# "Glej pojasnilo" #

Pojasnilo:

# "Najprej uporabite izrek o racionalnih koreninah, da najdete racionalne korenine."

# "Najdemo" x = 1 "kot racionalni koren."

# "Torej" (x-1) "je dejavnik. Razdelimo ta dejavnik stran:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Imamo preostalo kubično enačbo, ki nima racionalnih korenin."

# "Rešimo ga lahko z zamenjavo metode Vieta."

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Zamenjaj" x = y + 2/9 ".

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Zamenjaj" y = (sqrt (22) / 9) z ".

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Zamenjaj" z = t + 1 / t ".

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Zamenjava" u = t ^ 3 ", daje kvadratno enačbo:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Koren te kvadratne enačbe je u = 5.73717252."

# "Zamenjava spremenljivk nazaj omogoča:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Druge korenine so zapletene:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i.

# "(Najdete jih tako, da ločite" (x-1.44631151)) #

Odgovor:

Racionalna realna ničla je # x = 1 #.

Potem je tu iracionalna realna ničla:

# x_1 = 1/9 (2 + koren (3) (305 + 27sqrt (113)) + koren (3) (305-27sqrt (113))) #

in sorodne nerealne kompleksne ničle.

Pojasnilo:

Glede na:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Upoštevajte, da je vsota koeficientov #0#.

To je: #3-5+2 = 0#

Zato lahko to sklepamo # x = 1 # je nič in # (x-1) # dejavnik:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#barva (bela) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Preostali kubični je nekoliko bolj zapleten …

Glede na:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhausova transformacija

Da bi bila naloga reševanja kubične enostavnejše, naredimo kubični način enostavnejši z uporabo linearne zamenjave, znane kot Tschirnhausova transformacija.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

kje # t = (9x-2) #

Cardanova metoda

Želimo rešiti:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Let # t = u + v #.

Nato:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Dodajte omejitev # v = 22 / u # odpraviti # (u + v) # izraz in dobite:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Pomnožite s pomočjo # u ^ 3 # in nekoliko preuredite, da dobite:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Uporabite kvadratno formulo, da najdete:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Ker je to Real in je izpeljava simetrična # u # in # v #, lahko uporabimo enega od teh korenin za # u ^ 3 # in drugo za # v ^ 3 # Če želite najti Real root:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + koren (3) (305-27sqrt (113)) #

in sorodne kompleksne korenine:

# t_2 = omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

kje # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # je primitivni Complex kubični koren #1#.

Zdaj # x = 1/9 (2 + t) #. Tako so korenine naše prvotne kubike:

# x_1 = 1/9 (2 + koren (3) (305 + 27sqrt (113)) + koren (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 koren (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 koren (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113))) #