Kakšna je varianca standardne normalne porazdelitve?

Odgovor:

Glej spodaj. Standardno normalno je normalno nastavljeno tako, da #mu, sigma = 0,1 # zato poznamo rezultate vnaprej.

Pojasnilo:

PDF za standardno normalno je: #mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) #

Ima povprečno vrednost:

# mu = int _ (- oo) ^ (oo) dz mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz z ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (- e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) e ^ (- z ^ 2/2) _ (oo) ^ (- oo) = 0 #

Sledi, da:

# Var (z) = int _ (- oo) ^ (oo) dz (z-mu) ^ 2 mathbb P (z) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz ^ 2 e ^ (- z ^ 2/2) #

Tokrat uporabite IBP:

# Var (z) = - 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (e ^ (- z ^ 2/2)) t

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz ^ 2/2)) #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz ^ 2/2)) #

Ker # z e ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) = 0 #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2) #

Ta integral je dobro znan. To je mogoče storiti s polarnim sub, vendar je tukaj rezultat naveden.

# Var (z) = 1 / sqrt (2 pi) sqrt (2 pi) = 1 #