Kakšen je obseg funkcije y = sqrt (1-cosxsqrt (1-cosx (sqrt (1-cosx ...... oo?)?

Odgovor:

Potrebujem dvojno preverjanje.

Pojasnilo:

Odgovor:

# (- 1 + sqrt (5)) / 2, (1 + sqrt (5)) / 2 #

Pojasnilo:

Glede na:

#y = sqrt (1-cos xsqrt (1-cos xsqrt (1-cosxsqrt (…)))) #

napisati # t # za #cos x # dobiti:

#y = sqrt (1-tsqrt (1-tsqrt (1-tsqrt (…)))) #

Kvadrat obeh strani, da dobite:

# y ^ 2 = 1-tsqrt (1-tsqrt (1-tsqrt (…))) = 1-ti #

Dodaj # ty-1 # na obe strani:

# y ^ 2 + ty-1 = 0 #

Ta kvadratna nota # y # ima korenine, podane s kvadratno formulo:

#y = (-t + -sqrt (t ^ 2 + 4)) / 2 #

Upoštevajte, da moramo izbrati #+# znak #+-#, ker je glavna kvadratna korenina # y # ni negativna.

Torej:

#y = (-t + sqrt (t ^ 2 + 4)) / 2 #

Nato:

# (dy) / (dt) = -1 / 2 + t / (2sqrt (t ^ 2 + 4)) #

To je #0# kdaj:

# t / sqrt (t ^ 2 + 4) = 1 #

To je:

#t = sqrt (t ^ 2 + 4) #

Kvadriranje obeh strani:

# t ^ 2 = t ^ 2 + 4 #

Torej derivat ni nikoli #0#, vedno negativna.

Torej najvišje in najnižje vrednosti # y # doseženi, ko #t = +1, ki je razpon #t = cos x #.

Kdaj #t = -1 #:

#y = (1 + sqrt (5)) / 2 #

Kdaj #t = 1 #

#y = (-1 + sqrt (5)) / 2 #

Torej obseg # y # je:

# (- 1 + sqrt (5)) / 2, (1 + sqrt (5)) / 2 #

graf {(y - (- (cos x) + sqrt ((cos x) ^ 2 + 4)) / 2) = 0 -15, 15, -0,63, 1,87}

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Imamo

#y_min = sqrt (1-y_ (min)) #

#y_ (max) = sqrt (1 + y_ (max)) #

Tukaj

# y_min # je povezana z vrednostjo #cos x = 1 # in

# y_max # je povezan z #cosx = -1 #

Zdaj

#y_min = 1/2 (-1pm sqrt5) # in

#y_max = 1/2 (1 pm sqrt5) #

potem so možne omejitve

# 1/2 (-1 + sqrt5) le 1/2 (1 + sqrt5) #

OPOMBA

S #y = sqrt (1 + alpha y) #

imamo to # y # je naraščajoča funkcija # alfa #