Kakšna je enačba črte, tangentne na f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x pri x = sqrtpi?

Odgovor:

Enačba je približno:

#y = 3.34x - 0.27 #

Pojasnilo:

Za začetek moramo ugotoviti #f '(x) #, tako da vemo, kaj je naklon #f (x) # je na kateri koli točki, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

z uporabo pravila o izdelku:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

To so standardni izvedeni finančni instrumenti:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Naš derivat postane:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Vstavljanje danega # x # vrednost, naklon na #sqrt (pi) # je:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

To je nagib naše črte na točki # x = sqrt (pi) #. Nato lahko določimo presledek y z nastavitvijo:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

To nam daje ne-poenostavljeno enačbo za našo linijo:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Reševanje za b, smo končali z nadležno komplicirano formulo:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Torej naša vrstica postane:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Če dejansko izračunamo, kakšni so ti neugodno veliki koeficienti, končamo s približno črto:

#y = 3.34x - 0.27 #