Odgovor:
Spodaj preverite odgovor
Pojasnilo:
Za # x = 0 # imamo
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Menimo, da je nova funkcija #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ## v ## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ## v ## RR #
Kot rezultat # g # narašča. t # RR #. Zato, ker se strogo povečuje # g # je "#1-1#"(ena proti ena)
Torej, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
To moramo pokazati # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # je stalno na # 0, x #
- # f # je razločljiv v. t # (0, x) #
Po teoremu srednje vrednosti obstaja # x_0 ## v ## (0, x) #
za katere #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ## v ## RR # tako
tako, da ločimo oba dela
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Funkcija # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # je različno. Kot rezultat # f '# je različno in. t # f # je dvakrat diferenciabilen z
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ## v ## RR #
-> # f '# strogo narašča. t # RR # kar pomeni
# x_0 ## v ## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
