Kako poenostavim (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Odgovor:

# cos ^ 5x #

Pojasnilo:

Ta vrsta problema je resnično ne tako slaba, ko se zavedate, da vključuje malo algebre!

Najprej bom ponovno napisal navedeni izraz, da bodo naslednji koraki lažje razumljivi. To vemo # sin ^ 2x # je preprostejši način za pisanje # (sin x) ^ 2 #. Podobno, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Zdaj lahko prepišemo izvirni izraz.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Zdaj, tukaj je del, ki vključuje algebro. Let #sin x = a #. Lahko pišemo # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # kot

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Ali je to znano? To moramo samo upoštevati! To je popoln kvadratni trinom. Od # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, lahko rečemo

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Sedaj se vrnite na prvotno stanje. Ponovno nadomestite #sin x # za # a #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (barva (modra) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Zdaj lahko uporabimo trigonometrično identiteto za poenostavitev izrazov v modri barvi. Preureditev identitete # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, dobimo #barva (modra) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (barva (modra) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Ko to ubežimo, se negativni znaki pomnožijo in postanejo pozitivni.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Tako # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.