Odgovor:
Glej spodaj.
Pojasnilo:
(jaz) Kot smo # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, kar pomeni, da je vsota kvadratov obeh strani # a # in # b # je enaka kvadratu na tretji strani # c #. Zato # / _ C # nasprotna stran # c # bo pravokoten.
Predpostavimo, da ni tako, potem narišite pravokotno # A # do # BC #, naj bo pri # C '#. Zdaj po Pitagorjevem izreku, # a ^ 2 + b ^ 2 = (AC) ^ 2 #. Zato # AC '= c = AC #. Toda to ni mogoče. Zato # / _ ACB # je pravokoten in #Delta ABC # je pravokoten trikotnik.
Spomnimo se kosinusne formule za trikotnike, ki to navaja # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2abcosC #.
(ii) Kot razpon # / _ C # je # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #, če # / _ C # je nejasna # cosC # je negativna in zato # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab | cosC | #. Zato # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # sredstva # / _ C # je nejasna.
Uporabimo Pitagorin izrek, da ga preverimo in narišemo # DeltaABC # z # / _ C> 90 ^ @ # in pripravi # AO # pravokotno na podaljšano # BC # kot je prikazano. Zdaj po Pythagorinem izreku
# a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO-OC) ^ 2 + AC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC (BO-OC) #
= # AB ^ 2-2OCxxBC = c ^ 2-OCxxBC #
Zato # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #
(iii) in če # / _ C # je akutna # cosC # je pozitivna in zato # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab | cosC | #. Zato # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 # sredstva # / _ C # je akutna.
Ponovno z uporabo Pitagorjevega izreka, da preverimo to, narišemo # DeltaABC # z # / _ C <90 ^ @ # in pripravi # AO # pravokotno na # BC # kot je prikazano. Zdaj po Pythagorinem izreku
# a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO + OC) ^ 2 + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2 + 2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # AB ^ 2 + 2OC (CO + OB) #
= # c ^ 2 + 2axxOC #
Zato # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 #
