Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Odgovor:

Obstaja en ekstrem pri #(3,3,27)#

Imamo:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

In tako izpeljemo delne derivate:

# (delno f) / (delno x) = y - 27 / x ^ 2 t in (delno f) / (delno y) = x - 27 / y ^ 2 #

Na ekstremah ali sedečih točkah imamo:

# (delno f) / (delno x) = 0 t in (delno f) / (delno y) = 0 t hkrati:

istočasno rešitev:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Odštevanje teh enačb daje:

x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Lahko odpravimo # x = 0; y = 0 # in tako # x = y # je edina veljavna rešitev, ki vodi do:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

In z # x = y = 3 #, imamo:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Zato obstaja le ena kritična točka, ki se pojavi pri (3,3,27), kar je vidno na tej ploskvi (ki vključuje tangentno ravnino).