Ocenite nedoločen integral: :sqrt (10x x ^ 2) dx?

Odgovor:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Pojasnilo:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Izpolnite kvadrat, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Namestnik # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Namestnik # u = 5sin (v) # in # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Poenostavite, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Izboljšajte, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Odstrani konstanto, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Uporabi formule z dvojnim kotom, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Odstrani konstanto, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Vključi, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Nadomesti nazaj # v = arcsin (u / 5) # in # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + prekliči (1 / 2sin) (prekliči (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Poenostavite, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Izboljšajte, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, kje # c # je konstanta integracije.

Tadaa: D

Odgovor:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Pojasnilo:

Kaj je #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Upoštevajte, da je domena funkcije, ki je integrirana, tam, kjer je notranje kvadratno pozitivno, tj. #x v 0, 10 #

Ta izraz se lahko integrira z uporabo substitucij. Čeprav se možna pot za integracijo ne prikaže takoj, če tekmujemo s kvadratom, lahko izvedemo trigonometrično zamenjavo:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Katera, opazimo, je v klasični trigonometrični nadomestni obliki, tj. Kvadrat števila minus kvadratni linearni # x # funkcijo.

Prvič, da se znebimo linearnega, pustimo #u = x-5 #, ki daje # du = dx #, tako da lahko zgornji integral ponovno napišemo kot:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Zdaj za drugo zamenjavo, naj #u = 5sintheta #, ki spremeni sestavni del v:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (lahko zavrnemo absolutne vrednosti oklepajev)

Seveda # dx # ne pomaga, zato razlikujemo enačbo za zamenjavo, da dobimo: #du = 5costheta d theta #, tako da integral postane:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Zdaj lahko uporabimo formulo dvojnega kota, ki omogoča integracijo # cos ^ 2 theta # lažje:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Integral postane:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1/2 sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (z uporabo formule z dvojnim kotom)

Zdaj, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Zato #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

In, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #