Prosimo, pojasnite, to je linearna transformacija ali ne?

Odgovor:

Glej spodaj

Pojasnilo:

Transformacija #T: V na W # se pravi, da je linearna, če ima naslednja dva lastnosti:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # za vsakega # v_1, v_2 v V #
• #T (cv) = cT (v) # za vsakega #v v V # in vsak skalar # c #

Upoštevajte, da to drugo lastnost predpostavlja # V # je vgrajen z dvema operacijama vsote in skalarnega množenja. V našem primeru je vsota vsota med polinomi, množenje pa je množenje z realnimi števili (predpostavljam).

Ko izločite polinom, ga znižate za #1#, tako da, če vaš izpeljati polinom stopnje #4# dvakrat, boste dobili polinom stopnje #2#. Zapomnite si, da, ko govorimo o množici vseh štirih polinomov, dejansko pomeni množico vseh polinomov stopnje največ štiri. V bistvu je generični polinom stopnje štiri

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Če želite polinom stopnje dve # 3 + 6x-5x ^ 2 #na primer, preprosto izberete

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

S tem bi rekli, identificiramo polinomski prostor stopnje # n # z # P_n #in določite našega operaterja #T: P_4 tako, da #T (f (x)) = f '' (x) #

Dokažimo prvo lastnost: predpostavimo, da imamo polinome

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

in

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

To pomeni da # p_1 + p_2 # enako

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # je drugi derivat tega polinoma, tako da je

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Uporabil sem dvakratno pravilo moči za izpeljavo: drugi derivat od # x ^ n # je #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Zdaj pa izračunamo #T (p_1) #drugi derivat od # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Podobno, #T (p_2) #drugi derivat od # p_2 #, je

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Če povzamete te izraze, lahko vidite, da imamo

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Druga lastnost je prikazana na podoben način: glede na polinom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

imamo, za vsako pravo številko # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

njegov drugi derivat je torej

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

ki je spet enako kot računalništvo #T (p) #in potem pomnožite vse z # c #, t.j. #T (cp) = cT (p) #