Kako lahko to dokažem? Ali bi to uporabil izrek iz prave analize?

# "Uporabite definicijo derivata:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Tukaj imamo" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Moramo dokazati, da" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

# "ali" #

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

# "ali" #

#h '(x_0) = 0 #

# "s" h (x) = f (x) - g (x) #

# "ali" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

# "ali" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(zaradi" f (x_0) = g (x_0) ")" #

# "Zdaj" #

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "če" h> 0 "in" lim> = 0 ", če" h <0 #

# "Predpostavili smo, da sta f in g različna" #

# "tako" h (x) = f (x) - g (x) "je tudi razločljivo, #

# "zato mora biti leva omejitev enaka desni omejitvi, zato" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Odgovor:

Zagotavljam hitrejšo rešitev kot tista na http://socratic.org/s/aQZyW77G. Za to se bomo morali zanašati na nekatere znane rezultate iz računa.

Pojasnilo:

Definiraj #h (x) = f (x) -g (x) #

Od #f (x) g (x) #, imamo #h (x) le 0 #

At # x = x_0 #, imamo #f (x_0) = g (x_0) #, tako da #h (x_0) = 0 #

Tako # x = x_0 # je največja funkcija, ki jo je mogoče razlikovati #h (x) # znotraj odprtem intervalu # (a, b) #. Tako

#h ^ '(x_0) = 0 pomeni #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) pomeni #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #