Kaj so ekstremi f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 na [-oo, oo]?

Odgovor:

#f (x) # ima najmanj pri # x = 2 #

Pojasnilo:

Preden nadaljujete, upoštevajte, da je to parabola navzgor obrnjena navzgor, kar pomeni, da lahko brez nadaljnjega izračuna vemo, da ne bo imela maksimumov in enega samega minimuma na svojem vrhu. Dokončanje trga bi nam to pokazalo #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, ki daje vertex, in s tem edini minimum, na #x = 2 #. Pa poglejmo, kako bi to naredili z računom.

Vsi ekstremi se bodo pojavili na kritični točki ali na končni točki danega intervala. Kot naš dani interval # (- oo, oo) # je odprta, lahko zanemarimo možnost končnih točk, zato bomo najprej identificirali kritične točke funkcije, to je točko, na kateri je izpeljanka funkcije #0# ali ne obstaja.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Nastavitev je enaka #0#, smo našli kritično točko # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Zdaj lahko preverjamo, ali je to ekstrem (in kakšne vrste) s preverjanjem nekaterih vrednosti # f # okoli te točke ali z uporabo drugega izvedenega preskusa. Uporabimo slednje.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Kot #f '' (2) = 6> 0 #drugi test izpeljanke nam to pove #f (x) # ima lokalni minimum na # x = 2 #

Tako, uporaba #f '(x) # in #f '' (x) #, smo to našli #f (x) # ima najmanj pri # x = 2 #, ki ustreza rezultatu, ki smo ga našli z algebro.