Imamo:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Korak 2 - Opredelite kritične točke
Kritična točka se pojavi pri sočasni rešitvi. T
# f_x = f_y = 0 iff (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 #
torej, ko:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)), = 0, … B):}} # hkrati
Iz katerega lahko ugotovimo:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Zato zahtevamo, da:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Potem imamo dve (neskončni ravnini) rešitve:
#:. x = + - y #
Tako zaključujemo, da je neskončno veliko kritičnih točk po celotnih dolžinah preseka krivulje in dveh ravnin.
3. korak - Razvrstite kritične točke
Da bi razvrstili kritične točke, opravimo test, podoben testu enega spremenljivega računa z uporabo drugih delnih derivatov in Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((delno ^ 2 f) / (delno x ^ 2), (delno ^ 2 f) / (delno x delno y)), ((delno ^ 2 f) / (delno y delno x), (delno ^ 2 f)) / (delno y ^ 2)) | #
# f (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Potem odvisno od vrednosti
# {: (Delta> 0, "Največ je" f_ (xx) <0), (, "in minimum, če" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "sedlo je točka")), (Delta = 0, "Potrebna je nadaljnja analiza"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
= e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Upoštevati moramo znak
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Torej, odvisno od znaka
Tukaj je zaplet funkcije
In tukaj je zaplet funkcije, vključno z ravninami
