Kaj so ekstremi f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 na intervalu [-1,3]?

Kaj so ekstremi f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 na intervalu [-1,3]?
Anonim

Odgovor:

Imamo minimum # x = 0 # in prevojno točko pri # x = 3 #

Pojasnilo:

Maksima je visoka točka, na katero se funkcija dvigne in nato spet pade. Kot tak je naklon tangente ali vrednost izpeljanke na tej točki enaka nič.

Nadalje, ker bodo tangente na levo od maksimumov nagnjene navzgor, nato pa sploščene in nato nagnjene navzdol, bo naklon tangente stalno padal, tj. Vrednost drugega derivata bi bila negativna.

Minima na drugi strani je nizka točka, na katero funkcija pade in se nato ponovno dvigne. Tangenta ali vrednost izpeljane vrednosti pri minimumu je tudi nič.

Ker pa bodo tangente na levi strani minima nagnjene navzdol, nato pa sploščene in nato nagnjene navzgor, bo naklon tangente stalno naraščal ali pa bo vrednost drugega derivata pozitivna.

Če je drugi derivat nič, imamo točko

Vendar pa so lahko ti maksimumi in minimumi bodisi univerzalni, t.j. maksimumi ali minimumi za celotno območje ali pa so lahko lokalizirani, t.j. maksimumi ali minimumi v omejenem območju.

Poglejmo to s sklicevanjem na funkcijo, opisano v vprašanju, in za to najprej ločimo #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Njegov prvi derivat je podan z #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Za to bi bilo nič # x ^ 2-9 = 0 # ali #x = + - 3 # ali #0#. Samo od tega #{0,3}# znotraj območja #-1,3}#.

Zato se na točkah pojavijo maksimumi ali minimumi # x = 0 # in # x = 3 #.

Da bi ugotovili, ali je to maksimum ali minimum, poglejmo drugi diferencial, ki je #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # in zato

na # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # in je pozitiven

na # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # in je točka prevojnosti.

Zato imamo lokalni minimumi na # x = 0 # in prevojno točko pri # x = 3 #

. graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Odgovor:

Absolutni minimum je #(-9)^3+10# (ki se pojavi pri. t #0#), absolutni maksimum na intervalu je #10#, (ki se pojavi na #3#)

Pojasnilo:

Vprašanje ne navaja, ali naj najdemo relativne ali absolutne ekstreme, zato bomo našli oba.

Relativni ekstremi se lahko pojavijo samo pri kritičnih številkah. Kritične številke so vrednosti # x # ki so v domeni # f # in na kateri tudi #f '(x) = 0 # ali #f '(x) ne obstaja. (Fermatova teorema)

Absolutni ekstremi na zaprtem intervalu se lahko pojavijo pri kritičnih številkah v intervalu ali na točkah intervala.

Ker je funkcija, ki ste jo prejeli tukaj, trajna #-1,3#Teorema ekstremne vrednosti nam to zagotavlja # f # mora imeti absolutno in absolutno najvišjo vrednost na intervalu.

Kritične številke in relativni ekstremi.

Za #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, najdemo #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Jasno je, # f '# nikoli ne obstaja, tako da ni kritičnih številk te vrste.

Reševanje # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # daje rešitve #-3#, #0#, in #3#.

#-3# ni v domeni tega problema, #-1,3# zato moramo samo preveriti #f (0) # in #f (3) #

Za #x <0 #, imamo #f '(x) <0 # in

za #x> 0 #, imamo #f '(x)> 0 #.

Torej, s prvim preizkusom, #f (0) # je relativni minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Druga kritična številka v intervalu je #3#. Če zanemarimo omejitev domene, to ugotovimo #f '(x)> 0 # za vse # x # blizu #3#. Torej se funkcija poveča na majhnih odprtih intervalih, ki vsebujejo #3#. Torej, če se ustavimo na #3# dosegli smo najvišjo točko v domeni.

Tukaj je ne univerzalni dogovor, ali naj to pove #f (3) = 10 # je relativni maksimum za to funkcijo #-1,3#.

Nekateri zahtevajo vrednost na obeh straneh da je manj, druge zahtevajo, da so vrednosti v domeni na obeh straneh manjše.

Absolute Extrema

Položaj absolutnih ekstremov na zaprtem intervalu # a, b # je veliko preprostejše.

Poiščite kritične številke v zaprtem intervalu. Pokličite # c_1, c_2 # in tako naprej.

Izračunajte vrednosti #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # in tako naprej. Največja vrednost je absolutni maixmum na intervalu, najmanj pa absolutni minimum na intervalu.

V tem vprašanju izračunamo #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # in #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimalno je #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # in

maksimum je #f (-3) = 10 #.