Gospa Fox je vprašala, ali je njen razred vsota 4,2 in koren 2 racionalnega ali iracionalnega? Patrick je odgovoril, da bo vsota nerazumna. Navedite, ali je Patrick pravilen ali napačen. Utemeljite svoje razmišljanje.

Odgovor:

Vsota # 4.2 + sqrt2 # je iracionalen; deduje lastnost, ki se nikoli ne ponavlja z decimalno ekspanzijo #sqrt 2 #.

Pojasnilo:

An iracionalno število je število, ki ga ni mogoče izraziti kot razmerje dveh celih števil. Če je število iracionalno, potem se njegova decimalna razširitev nadaljuje brez vzorca in obratno.

To že vemo #sqrt 2 # je iracionalen. Njegova decimalna širitev se začne:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Število #4.2# je racionalno; lahko se izrazi kot #42/10.# Ko dodamo 4,2 na decimalno ekspanzijo #sqrt 2 #, dobimo:

#sqrt 2 + 4,2 = barva (bela) + 1,414213562373095 … #

#barva (bela) (sqrt 2) barva (bela) + barva (bela) (4.2 =) + 4.2 #

# barva (bela) (sqrt 2) barva (bela) + barva (bela) (4.2 =) bar (barva (bela) (+) 5.614213562373095 …) #

Zlahka se vidi, da se ta vsota ne konča niti ima ponavljajoč vzorec, zato je tudi iracionalna.

Na splošno je vsota racionalnega števila in iracionalnega števila vedno nerazumna; argument je podoben zgoraj.

Odgovor:

#barva (modra) ("pravilna") #

Pojasnilo:

Če začnemo s tem, da je vsota racionalna: vse racionalne številke lahko zapišemo kot količnik dveh celih števil # a / bcolor (bela) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Izdelek dveh celih števil je celo število:

Razlika med dvema celima številkama je celo število:

Torej:

# 5a-21b # je celo število.

# 5b # je celo število.

Zato:

# (5a-21b) / (5b) # je racionalna.

Ampak to vemo #sqrt (2) # je iracionalno, zato je to protislovje iz naše predpostavke, da je vsota racionalna, zato je vsota iracionalnega števila in racionalne številke vedno iracionalna.