Kolikšna je hitrost delca za t = 0 do t = 10, pri čemer je pospešek veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Odgovor:

Povprečna hitrost: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"gospa"#

Hitrost v času #t = 0 # # "s" #: #0# #"gospa"#

Hitrost pri #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"gospa"#

Pojasnilo:

Predvidevam, da mislite na povprečna hitrost od #t = 0 # do #t = 10 # # "s" #.

Dali smo komponente pospeška delcev in prosili, da najdejo povprečno hitrost nad prvim #10# sekund svojega gibanja:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

kje

• #v_ "av" # je obseg povprečne hitrosti in. t

• # Deltar # je sprememba položaja predmeta (od. t #0# # "s" # do #10# # "s" #).

Zato moramo v obeh primerih najti položaj objekta.

Iz te enačbe pospeška moramo izpeljati enačbo položaja, tako da jo integriramo dvakrat:

Prva integracija:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (hitrost)

Druga integracija:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (položaj)

Predpostavlja se, da je začetni položaj na začetku, zato se vključimo #10# za # t # v enačbi položaja:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Nato lahko razdelimo enačbo povprečne hitrosti na komponente:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = barva (rdeča) (250 # #barva (rdeča) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = barva (modra) (250/3 # #barva (modra) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = barva (zelena) (- 6000 # #barva (zelena) ("m / s" #

Z uporabo teh komponent lahko najdemo velikost vektorja povprečne hitrosti:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = barva (vijolična) (6,01 xx 10 ^ 3 # #barva (vijolična) ("m / s" #

(Tukaj je takoj hitrostni odsek).

Najti trenutne hitrosti pri #t = 0 # in #t = 10 # # "s" #, najprej vključimo te čase v prej integrirano enačbo hitrosti:

• #t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) #

# = barva (rdeča) (0 # #barva (rdeča) ("m / s" #

• #t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s»)) #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s")

Velikost te hitrosti je tako

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = barva (modra) (2.40 xx 10 ^ 4 # #barva (modra) ("m / s" #