Dokaži: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Dokazati

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Dokazano

To je eden od tistih dokazov, ki jih je lažje delati od desne proti levi. Začeti z:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Pomnožimo števec in imenovalec vgrajenih frakcij s "konjugati" (npr. # 1pmsinx # na # 1 sinx #). Tako dobite, npr. # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx)) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Če želite poenostaviti imenovalec v vdelanih delcih, ponovite prejšnji korak:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Uporabite identitete # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # in # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # dobiti:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x))) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Združite ulomke in jih pomnožite s pomikom:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Razširi kvadratne izraze:

# = (prekliči (1) + 2sinx + prekliči (sin ^ 2x) - (prekliči (1) -2sinx + cancel (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (prekliči (1) + 2cosx + prekliči (cos ^ 2x) - (prekliči (1) -2cosx + prekliči (cos ^ 2x))) #

# = (prekliči (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (prekliči (4) cosx) #

# = barva (modra) (tan ^ 5x) #