Vprašanje o gravitaciji?

(a) Za predmet mase # m = 2000 t gibljejo v krožni orbiti polmera # r # s hitrostjo # v_0 # okoli zemlje mase # M # (na višini # h # od # 440 m #), orbitalno obdobje # T_0 # Keplerjev tretji zakon.

# T_0 ^ 2 = (4pi ^ 2) / (GM) r ^ 3 # ……(1)

kje # G # je univerzalna gravitacijska konstanta.

Glede na nadmorsko višino vesoljskih ladij

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / (GM) (R + h) ^ 3) #

Vstavljanje različnih vrednosti, ki jih dobimo

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.37xx10 ^ 6 + 4.40xx10 ^ 5) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = 5591,0

(b) Centripetalna sila se uravnava z gravitacijsko silo. Izraz postane

# (mv_0 ^ 2) / r = (GMm) / r ^ 2 #

# => v_0 = sqrt ((GM) / r) #

Alternativno, za krožno orbito

# v_0 = romega #

# => v_0 = (R + h) (2pi) / T_0 #

Vstavljanje različnih vrednosti v nadomestni izraz

# v_0 = (6.81xx10 ^ 6) (2pi) / 5591 #

# => v_0 = 7653 cdot s ^ -1 #

(c) Kinetična energija Picardove vesoljske ladje takoj po požaru

# E_K = 1 / 2mv ^ 2 #

Vstavljanje različnih vrednosti, ki jih dobimo

# E_K = 1/2 (2000) ((100-1.30) / 100xx7653) ^ 2 #

# => E_K = 5.7xx10 ^ 10

(d) potencialna energija te vesoljske ladje hkrati

#E_P = - (GMm) / (r) #

Vstavljanje različnih vrednosti, ki jih dobimo

#E_P = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (6.81xx10 ^ 6) #

# E_P = -1.17xx10 ^ 11

(e) Skupna energija # E_T = E_P + E_K #

# E_T = -1.17xx10 ^ 11 + 5.7xx10 ^ 10 #

# E_T = -6.0xx10 ^ 10

(f) Semi # a # os je podana z

#E_T = - (GMm) / (2a) #

# => a = - (GMm) / (2E_T) #

Vstavljanje dobljenih vrednosti

# => a = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (2 (-6.0xx10 ^ 10)) #

# => a = 6.65xx10 ^ 6

(g) novo orbitalno obdobje # T # iz izraza

# T ^ 2 = (4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3 #

# => T = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T = 5395,1

(h) Picard je zdaj hitrejši od Igorja

# DeltaT = 5591,0-5395,1 = 195,9

Ko je prišel prvi na točko # P # bil je # 84,0 zadaj. Zdaj prej

# 195.9-84.0 = 111.9