Odgovor:
Začeti z
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) #
Zamenjaj sekant s kosinusom.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Zdaj vzamemo derivat wrt x na obeh straneh!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Izvedba konstante je nič in derivat je linearen!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Zdaj uporabljamo pravilo o izdelku na prvih dveh izrazih, ki jih dobimo!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Naslednje veliko zabave z verigo! Pazi na zadnji termin!
(prav tako preproste x izvedene)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Narediti nekaj teh izvedenih finančnih instrumentov, derivatov xy in derivatov cos (xy) tudi pravilo o izdelku in verigo še enkrat v zadnjem delu zadnjega obdobja.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy / dx) #
Neaten malo in dokončajte vse derivate
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Zdaj ločimo v izraz s # dx / dy # in brez
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Prinesite vse brez # dy / dx # na eni strani in zbiranje podobnih izrazov na drugi strani
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Delite, čeprav najti # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
To je bilo zelo dolgo!
Pojasnilo:
Šlo je z zelo dolgo razlago s preprostim primerom, ker je implicitna diferenciacija lahko zapletena, pravilo verige pa je zelo zelo pomembno.
Za rešitev tega in treh specifičnih izvedenih funkcij morate uporabiti približno tri pravila BIG računa.
1) Linearnost derivata.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Pravilo o izdelku.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Daleč najpomembnejši koncept v implicitni diferenciaciji je
verigo. Za sestavljene funkcije, funkcije drugih funkcij, #f (u (x)) # imamo, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Lahko nadaljujete s tem
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, in naprej in nazaj ter naprej. Opomba # dx / dx = 1 #.
Primer: Če imate funkcijo funkcije #f (u) # kje # u # je funkcija # x #. tj #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Tukaj #f (u) = sqrt (u) # in #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # odpoklic # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Izrazi za posebne vrste funkcij.
A) Kako vzeti izpeljane funkcije moči, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Kako vzeti derivat # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- dolgočasen?
C) Kako vzeti derivat # cos (x) # Ker # (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - x x #
Ključ do implicitne diferenciacije je uporaba verižnega pravila, da vzamemo derivat wrt x in funkcijo x in y, kot krog.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
