Vprašanje # ba262

Odgovor:

Dokaz je nekoliko dolg, vendar obvladljiv. Glej spodaj.

Pojasnilo:

Ko poskušate dokazati identitete prožil, ki vključujejo dele, je vedno dobro dodati prve dele:

# sint / (1-cost) + (1 + strošek) / sint = (2 (1 + strošek)) / sint #

# -> sint / (1-cost) sint / sint + (1 + strošek) / sint (1-strošek) / (1-strošek) = (2 (1 + strošek)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-strošek) (sint)) + ((1 + strošek) (1-strošek)) / ((1-strošek) (sint)) = (2 (1 + strošek)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + strošek) (1-strošek)) / ((1-strošek) (sint)) = (2 (1 + strošek)) / sint #

Izraz # (1 + strošek) (1-strošek) # je dejansko razlika prikritih kvadratov:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

S # a = 1 # in # b = strošek #. Ocenjuje se na # (1) ^ 2- (strošek) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Lahko gremo še dlje # 1-cos ^ 2t #. Spomnimo se osnovne Pitagorejeve identitete:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Odštevanje # cos ^ 2x # na obeh straneh, vidimo:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Od # x # je le spremenljivka rezerviranega mesta, lahko to rečemo # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Zato # (1 + strošek) (1-strošek) # postane # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-strošek) (sint)) = (2 (1 + strošek)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-strošek) (sint)) = (2 (1 + strošek)) / sint #

Upoštevajte, da sines odpove:

# (2zaključi (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-strošek) prekliči ((sint)) = (2 (1 + strošek)) / sint #

# -> (2sint) / (1-strošek) = (2 (1 + strošek)) / sint #

Skoraj smo končali. Zadnji korak je pomnožitev leve strani s konjugacijo # 1-stroški # (kateri je # 1 + strošek #), da izkoristite razliko lastnosti kvadratov:

# (2sint) / (1-strošek) (1 + strošek) / (1 + strošek) = (2 (1 + strošek)) / sint #

# -> (2sint (1 + strošek)) / ((1-strošek) (1 + strošek)) = (2 (1 + strošek)) / sint #

Tudi to lahko vidimo # (1-strošek) (1 + strošek) # je razlika kvadratov, s # a = 1 # in # b = strošek #. Ocenjuje se na # (1) ^ 2- (cena) ^ 2 #, ali # 1-cos ^ 2t #. To smo že pokazali # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, tako da se imenovalec zamenja:

# (2sint (1 + strošek)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + strošek)) / sint #

Prekliči Sines:

# (2zaključi (sint) (1 + strošek)) / (prekliči (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + strošek)) / sint #

In voila, dokončani dokazi:

# (2 (1 + strošek)) / sint = (2 (1 + strošek)) / sint #

Odgovor:

Naj poskusim

Pojasnilo:

# LHS = sint / (1-strošek) + (1 + strošek) / sint #

Če pregledamo RHS, vzamemo skupno# (1 + strošek) / sint #

Torej

# LHS = (1 + strošek) / sint (sint / (1 + strošek) * sint / (1-cost) +1) #

# = (1 + strošek) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + strošek) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + strošek) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + strošek)) / sint = RHS #

Dokazano