Vprašanje # 059f6

Odgovor:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Pojasnilo:

Taylorjev razvoj funkcije # f # na # a # je #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Ne pozabite, da je to serija moči, tako da ni nujno, da se približa # f # ali celo nekje drugje kot pri # x = a #.

Najprej potrebujemo izvedene # f # če hočemo napisati pravo formulo njene Taylorjeve serije.

Po računanju in indukcijskem dokazu lahko to rečemo #AAk v NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # in #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Torej po nekaj grobih in majhnih poenostavitvah se zdi, da je Taylorjeva vrsta # f # je #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + vsota (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k) +1) #.