Kako dokazujete (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Odgovor:

Uporabite nekaj identitet in poenostavite. Glej spodaj.

Pojasnilo:

Verjamem, da je v vprašanju prišlo do napake, vendar to ni nič takega. Da bi bilo to smiselno, bi se moralo vprašanje glasiti:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (sek - tanx) ^ 2 #

Kakorkoli, začnemo s tem izrazom:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Ko dokazujete identitete trig, je na splošno najbolje, da delate na strani, ki ima frakcijo).

Uporabimo čeden trik, imenovan konjugirano množenje, kjer pomnožimo frakcijo z imenovalcem konjugat:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugata # a + b # je # a-b #, torej konjugata # 1 + sinx # je # 1-sinx #; pomnožimo se z # (1-sinx) / (1-sinx) # za uravnoteženje frakcije.

Upoštevajte, da # (1 + sinx) (1-sinx) # je dejansko razlika kvadratov, ki ima lastnost:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Tu vidimo to # a = 1 # in # b = sinx #, torej:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Iz pitagorejske identitete # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #iz tega sledi (po odštevanju. t # sin ^ 2x # z obeh strani), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, odšli smo # (1-sinx) / (1-sinx) # do # 1-sin ^ 2x # do # cos ^ 2x #! Zdaj je naša težava:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Razširimo števec:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Ne pozabite: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Zdaj bomo razdelili ulomke:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sek ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Kako poenostaviti to ? Spomni se, ko sem rekel: "Zapomni si: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Izkazalo se je, da # sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # je dejansko # (secx-tanx) ^ 2 #. Če pustimo # a = secx # in # b = tanx #, Vidimo, da je ta izraz:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + podčlen ((b) ^ 2) _tanx #

Kar je, kot sem pravkar rekel, enakovredno # (a-b) ^ 2 #. Zamenjati # a # z # secx # in # b # z # tanx # in dobiš:

# sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

In zaključili smo prood:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #