Največja stran pravokotnega trikotnika je ^ 2 + b ^ 2 in druga stran je 2ab. Kateri pogoj bo tretja stran najmanjša stran?

Odgovor:

Da bi bila tretja stran najkrajša, potrebujemo # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (in to # a # in # b # imajo isti znak).

Pojasnilo:

Najdaljša stran pravokotnega trikotnika je vedno hipotenuza. Torej vemo, da je dolžina hipotenuze # a ^ 2 + b ^ 2. #

Naj bo neznana stranska dolžina # c. # Potem iz Pitagorjevega izreka vemo

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

ali

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#barva (bela) c = sqrt (^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#barva (bela) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#barva (bela) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#barva (bela) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Zahtevamo tudi, da so vse dolžine strani pozitivne

• # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 ali b! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => a, b> 0 ali a, b <0 #

• # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> a ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> absa> absb #

Zdaj, za kaj trikotnik, najdaljša stran mora biti krajši od vsota drugih dveh straneh. Torej imamo:

#barva (bela) (=>) 2ab + "" c barva (bela) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab barva (bela) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," če b> 0), (a <b "," če b <0):} #

Poleg tega naj bo tretja stran najmanjša, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

ali # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # ali # a-b <sqrt2b # ali #a <b (1 + sqrt2) #

Če združimo vse te omejitve, lahko sklepamo, da moramo imeti, da je tretja stran najkrajša # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb in (a, b <0 ali a, b> 0).