Pokažite, da so vse poligonalne sekvence, ki jih generira serija aritmetičnih zaporedij s skupno razliko d, d v ZZ, poligonalne sekvence, ki jih lahko generira a_n = a ^ 2 + bn + c?

Odgovor:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = en ^ 2 + b ^ n + c #

z # a = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (d + 2) # je poligonska vrsta ranga, # r = d + 2 #

Primer je naveden kot aritmetično zaporedje preskočite štetje s # d = 3 #

imeli boste #barva (rdeča) (peterokotna) # zaporedje:

# P_n ^ barva (rdeča) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # dajanje # P_n ^ 5 = {1, barva (rdeča) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

Poligonalno zaporedje je zgrajeno z uporabo # nth # vsota aritmetičnega zaporedja. V izračunu bi to pomenilo integracijo.

Ključna hipoteza tukaj je:

Ker je aritmetično zaporedje linearno (mislim linearno enačbo), bo integracija linearne sekvence povzročila polinomsko zaporedje stopnje 2.

Zdaj, da pokažem to

Začnite z naravnim zaporedjem (preskočite štetje, tako da začnete z 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

poiščite n-to vsoto #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #

# a_n # je aritmetično zaporedje z

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #

Torej je pri d = 1 zaporedje oblike # P_n ^ 3 = ^ 2 + bn + c #

z #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #

Sedaj posplošimo za poljuben preskočni števec #color (rdeča) d #, #barva (rdeča) d v barvi (modra) ZZ # in # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + barva (rdeča) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + barva (rdeča) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = barva (rdeča) d / 2n ^ 2 + (2-barvna (rdeča) d) n / 2 #

Ki je splošna oblika # P_n ^ (d + 2) = ^ 2 + bn + c #

z # a = barva (rdeča) d / 2; b = (2-barvni (rdeči) d) / 2; c = 0 #