Število 90 ^ 9 ima 1900 različnih pozitivnih integralskih deliteljev. Koliko od teh je kvadratov celih števil?

Odgovor:

Wow - lahko odgovorim na svoje vprašanje.

Pojasnilo:

Izkazalo se je, da je pristop kombinacija kombinatorike in teorije števil. Začnemo s faktoringom #90^9# v svoje osnovne dejavnike:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Trik je, da ugotovimo, kako najti kvadratke celih števil, kar je relativno preprosto. Kvadrati cela števila se lahko generirajo na različne načine iz te faktorizacije:

#5^9*3^18*2^9#

To lahko vidimo #5^0#je na primer kvadrat celega števila in delitelja #90^9#; prav tako, #5^2#, #5^4#,#5^6#, in #5^8# vsi izpolnjujejo te pogoje. Zato imamo 5 možnih načinov za konfiguriranje delitelja #90^9# to je kvadrat celega števila, z uporabo samih 5s.

Enako velja za. T #3^18# in #2^9#. Vsaka enakomerna moč teh osnovnih faktorjev - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (skupno 10) za 3 in 0, 2, 4, 6, 8 (skupno 5) za 2 - je popoln kvadrat, ki je delitelj #90^9#. Poleg tega, kombinacijo teh primarnih deliteljev, ki imajo celo moči, izpolnjuje tudi pogoje. Na primer, #(2^2*5^2)^2# je kvadrat celega števila, kot je #(3^8*2^4)^2#; in oboje, sestavljeni iz deliteljev #90^9#, so tudi delitelji #90^9#.

Tako želeno število kvadratov celih števil, ki so delitelji #90^9# je podan z #5*10*5#, ki je pomnožitev možnih izbir za vsak osnovni faktor (5 za 5, 10 za 3 in 5 za 2). To je enako #250#, kar je pravilen odgovor.