Dokaži sqrt (^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Odgovor:

V razlagi

Pojasnilo:

Na normalni koordinatni ravnini imamo koordinate kot (1,2) in (3,4) in podobno. Te koordinate lahko ponovno izrazimo n po radiusih in kotih. Torej, če imamo točko (a, b), to pomeni, da gremo enote v desno, b enote in #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # kot razdalja med začetkom in točko (a, b). poklical bom #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Tako smo # re ^ arctan (b / a) #

Zdaj, da dokončam ta dokaz, se spomnimo formule.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funkcija obloka tan mi daje kot, ki je tudi theta.

Tako imamo naslednjo enačbo:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Zdaj narišemo pravokoten trikotnik.

Arktan (b / a) mi pove, da je b nasprotna stran in a sosednja stran. Torej, če hočem cos arctana (b / a), uporabimo Pitagorov izrek, da najdemo hipotenuzo. Hipotenuza je #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Torej cos (arctan (b / a)) = meji na hipotenuzo = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Najboljši del tega je dejstvo, da to isto načelo velja tudi za sinus. Torej greh (arctan (b / a)) = nasproti hipotenuze = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Zdaj lahko odgovor ponovno izrazimo tako: #r * ((a / sqrt (^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (^ 2 + b ^ 2))) #.

Ampak zapomni si #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # zdaj imamo: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Preklic r in ostane vam naslednje: # a + bi #

Zato, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #