Kakšen je pomen omejitve funkcije?

Odgovor:

Izjava #lim_ (x a) f (x) = L # pomeni: kot # x # postaja bližje # a #, #f (x) # postaja bližje # L #.

Pojasnilo:

Natančna opredelitev je:

Za vsako realno število #ε>0#obstaja drugo realno število #δ>0# tako, da če # 0 <| x-a |<>, potem # | f (x) -L |<>.

Upoštevajte funkcijo #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Če risamo graf, je videti tako:

Ne moremo reči, kakšna je vrednost # x = 1 #, vendar izgleda kot da #f (x) # pristopov #2# kot # x # pristopov #1#.

Poskusimo to pokazati #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Vprašanje je, kako bomo dobili # 0 <| x-1 |<> do # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Začeti moramo z neko vrednostjo #ε# in nato poiščite ustrezno vrednost za #δ#.

Začnimo s tem

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Drugi pogoj je

# | x-1 | <δ #

Definicija natančno ustreza, če #δ = ε#.

To smo pravkar pokazali za vse #ε#, obstaja a #δ# tako da # | f (x) 2 |<> kdaj # 0 <| x 1 |<>.

Tako smo to pokazali

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #