Vsota kvadrata treh celih števil je 324. Kako najdete cela števila?

Odgovor:

Edina rešitev z različnimi pozitivnimi celimi številami je #(2, 8, 16)#

Celoten nabor rešitev je:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Pojasnilo:

Prihranimo si lahko nekaj napora, če upoštevamo, kaj oblikujejo kvadrati.

Če # n # potem je liho celo število #n = 2k + 1 # za celo število # k # in:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Opazite, da je to liho celo število obrazca # 4p + 1 #.

Torej, če dodate kvadrate dveh lihih celih števil, boste vedno dobili celo število obrazca # 4k + 2 # za celo število # k #.

Upoštevajte, da #324 = 4*81# v obliki # 4k #, ne # 4k + 2 #.

Zato lahko sklepamo, da morajo biti vsa tri števila enaka.

Od konca je število končnih števil # n ^ 2> = 0 # za katero koli celo število # n #.

Razmislite o rešitvah za ne-negativna cela števila. Na koncu lahko dodamo različice, ki vključujejo negativna cela števila.

Recimo, da je največje celo število # n #, potem:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Torej:

# 12 <= n <= 18 #

To povzroči možne vsote kvadratov drugih dveh celih števil:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Za vsako od teh vrednosti # k #, predpostavimo, da je največje preostalo celo število # m #. Nato:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

in zahtevamo # k-m ^ 2 # biti popoln kvadrat.

Zato najdemo rešitve:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Torej je edina rešitev z različnimi pozitivnimi celimi številami #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

To je enostavno pokazati # x, y # in # z # mora biti tudi zato, ker je # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # in # z = 2m_z # imamo

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # ali

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # kar je absurdno.

Torej bomo razmislili od zdaj naprej

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Zdaj razmišljamo o identiteti

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

z # l, m, n # poljubna pozitivna cela števila in izdelava

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

imamo

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # ali reševanje # n #

#n = 1/2 (9 pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

tako za izvedljivost, ki jo potrebujemo

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # ali

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

tako za # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # bomo imeli

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # tako izvedljivo # q # so

#q_f = {80,72,56,32} # Ker #q equiv 0 mod 4 #

zato moramo najti

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # ali

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Tukaj lahko enostavno preverimo, ali je edina rešitev

# l_1 = 2, m_1 = 4 # Ker

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

in posledično # n_1 = {4,5} #

in nadomestimo v 1

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

dajanje rešitve

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #