Kakšne so luknje (če obstajajo) v tej funkciji: f (x) = frac {x ^ {2} - 14x + 49} {x ^ {2} - 10x + 21}?

Odgovor:

To #f (x) # ima luknjo # x = 7 #. Ima tudi navpično asimptotno vrednost # x = 3 # in horizontalna asimptota # y = 1 #.

Pojasnilo:

Najdemo:

#f (x) = (x ^ 2-14x + 49) / (x ^ 2-10x + 21) #

#barva (bela) (f (x)) = (barva (rdeča) (preklic (barva (črna) ((x-7)))) (x-7)) / (barva (rdeča) (preklic (barva (črna) ((x-7)))) (x-3)) #

#barva (bela) (f (x)) = (x-7) / (x-3) #

Upoštevajte, kdaj # x = 7 #, tako števec kot imenovalec prvotnega racionalnega izraza sta #0#. Od #0/0# je neopredeljeno, #f (7) # je neopredeljeno.

Po drugi strani pa zamenjava # x = 7 # v poenostavljeni izraz dobimo:

# (barva (modra) (7) -7) / (barva (modra) (7) -3) = 0/4 = 0 #

Lahko sklepamo, da je singularnost #f (x) # na # x = 7 # je odstranljiva - to je luknja.

Druga vrednost, za katero je imenovalec #f (x) # je #0# je # x = 3 #. Kdaj # x = 3 # števec je # (barva (modra) (3) -7) = -4! = 0 #. Tako dobimo navpično asimptoto # x = 3 #.

Drug način pisanja # (x-7) / (x-3) # je:

# (x-7) / (x-3) = ((x-3) -4) / (x-3) = 1-4 / (x-3) -> 1 # kot #x -> + - oo #

Torej #f (x) # ima vodoravno asimptoto # y = 1 #.