20 cm dolga vrvica se razreže na dva dela. Eden od kosov se uporablja za oblikovanje oboda kvadrata?

Odgovor:

# "Najmanjša skupna površina = 10.175 cm²." #

# "Največja skupna površina = 25 cm²." #

Pojasnilo:

# "Ime x dolžina dela, ki tvori kvadrat."

# "Nato je kvadrat" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Obod trikotnika je" 20-x "." #

# "Če je y ena od enakovrednih strani trikotnika, potem imamo" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => območje = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Skupna površina =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "To je parabole in minimum za parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "je" x = -b / (2 * a) ", če a> 0." #

# "Največja vrednost je" x-> oo ", če je a> 0." #

# "Najmanjši je" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Skupna površina =" 10.175 "cm²."

# "Največja vrednost je x = 0 ali x = 20." #

# "Preverjamo območje:" #

# "Ko" x = 0 => "območje =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Ko" x = 20 => "območje =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Največja skupna površina je 25 cm²."

Odgovor:

Najmanjša površina je #10.1756# in maksimum je #25#

Pojasnilo:

Obod pravokotnega enakokrakega trikotnika s strani # a # je # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # in njeno območje # a ^ 2/2 #,

Naj bo en kos # x # cm. iz katerega tvori pravokotni enakokraki trikotnik. Očitno je, da bi bila stran pravokotnega enakokrakega trikotnika # x / (2 + sqrt2) # in njeno območje bi bilo

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Območje drugega dela niza, ki tvori kvadrat, je # (20-x) # in kot stran kvadrata je # (20-x) / 4 # njeno območje # (20-x) ^ 2/16 # in skupno površino # T # obeh

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Opazujte to # 3-2sqrt2> 0 #, torej koeficient. t # x ^ 2 # je pozitivna in zato bomo imeli minimum in lahko pišemo # T # kot

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Kot # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # je vedno pozitiven, imamo minimalno vrednost # T # kdaj # x = 11.8596 #.

Opazujte, da teoretično ni maksimumov za funkcijo, ampak kot vrednost # x # leži med #0,20#, in kdaj # x = 0 #, imamo # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

in kdaj # x = 20 # kdaj # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

in zato je maksimum #25#

graf {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}