Odgovor:
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #
# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #
Pojasnilo:
Nastavite enačbo za spremenljivke A, B, C
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) dx #
Najprej rešimo za A, B, C
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #
LCD # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #
Poenostavite
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x 1) (x + 1) ^ 2) #
Prerazporedite pogoje na desni strani
# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #
postavimo enačbe za reševanje za A, B, C z usklajevanjem numeričnih koeficientov levega in desnega pojma
# A + B = 4 "" #prva enačba
# 2A + C = 6 "" #druga enačba
# A-B-C = -2 "" #tretja enačba
Istočasna rešitev z uporabo rezultatov druge in tretje enačbe
# 2A + A + C-C-B = 6-2 #
# 3A-B = 4 "" #četrta enačba
Zdaj uporabimo prvo in četrto enačbo
# 3A-B = 4 "" #četrta enačba
# 3 (4-B) -B = 4 "" #četrta enačba
# 12-3B-B = 4 #
# -4B = 4-12 #
# -4B = -8 #
# B = 2 #
Rešite za uporabo A # 3A-B = 4 "" #četrta enačba
# 3A-2 = 4 "" #četrta enačba
# 3A = 4 + 2 #
# 3A = 6 #
# A = 2 #
Rešite C z uporabo # 2A + C = 6 "" #druga enačba in. t # A = 2 # in # B = 2 #
# 2A + C = 6 "" #druga enačba
# 2 (2) + C = 6 #
# 4 + C = 6 #
# C = 6-4 #
# C = 2 #
Zdaj izvajamo integracijo
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) dx #
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) dx #
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1)) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #
#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #
Bog blagoslovi … Upam, da je razlaga koristna.
